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二重积分的几何意义

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  • 2024-06-18 14:09:51

同定积分类似,是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心等。

平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的(有向)曲面上进行积分,称为曲面积分。在空间直角坐标系中,二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和,在xoy平面上方的取正,在xoy平面下方的取负。

某些特殊的被积函数f(x,y)的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知,可以用二重积分的几何意义的来计算。

定积分的几何意义是曲边梯形的有向面积,物理意义是变速直线运动的路程或变力所做的功。二重积分的几何意义是曲顶柱体的有向体积,物理意义是加在平面面积上压力(压强可变)。三重积分的几何意义和物理意义都认为是不均匀的空间物体的质量。

定义

设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D上,将区域D任意分成n个子域 ,并以 表示第 个子域的面积。在 上任取一点 作和 。如果当各个子域的直径中的最大值 趋于零时,此和式的极限存在,且该极限值与区域D的分法及的取法无关,则称此极限为函数 在区域 上的二重积分,记为 ,即 。

这时,称 在 上可积,其中 称被积函数, 称为被积表达式, 称为面积元素, 称为积分区域, 称为二重积分号。

同时二重积分有着广泛的应用,可以用来计算曲面的面积,平面薄片重心,平面薄片转动惯量,平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活,比如无线电中也被广泛应用。

积分的线性性质

性质1 (积分可加性) 函数和(差)的二重积分等于各函数二重积分的和(差),即

性质2 (积分满足数乘) 被积函数的常系数因子可以提到积分号外,即

(k为常数)

比较性

性质3 如果在区域D上有f(x,y)≦g(x,y),则

估值性

性质4 设M和m分别是函数f(x,y)在有界闭区域D上的最大值和最小值,σ为区域D的面积,

性质5 如果在有界闭区域D上f(x,y)=k(k为常数),σ为D的面积,则Sσ=k∫∫dσ=kσ。

二重积分中值定理

设函数f(x,y)在有界闭区域D上连续,σ为区域的面积,则在D上至少存在一点(ξ,η),使得

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