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凯利公式

凯利公式

在概率论中，凯利公式（也称 “凯利方程式”）是一个在期望净收益为正的独立重复赌局中，使本金的长期增长率最大化的投注策略。该公式于 1956 年由约翰·拉里·凯利（John Larry Kelly）在《贝尔系统技术期刊》中发表，可以用来计算每次游戏中应投注的资金比例。若赌局的期望净收益为零或为负，凯利公式给出的结论是不赌为赢。

凯利公式，从赌场到量化投资

凯利公式由 John R. Kelly, Jr. 于1956年提出（Kelly 1956）。它指出在一个期望收益为正的重复性赌局或者重复性投资中，每一期应该下注的最优比例。凯利公式在“拉斯维加斯”和“华尔街”久负盛名。很多数学天才将它在赌场和投资中发扬光大，取得了非凡的成就。这其中最著名的大概就是 Dr. Edward Thorp，他开辟了战胜 Blackjack（21 点）的策略，并使用凯利公式计算出来的比例进行下注（Thorp 1962）；玩转赌场后，Thorp 博士将它在统计学和概率论上的天赋用在投资中，他创建的 PNP 对冲基金曾在近 30 年内取得了年化 20% 以上的收益率（Thorp 2017）。此外，学术界也对凯利公式的各种数学性质以及实践应用进行了大量的研究，这些成果汇总于 MacLean 等人编辑的论文集 MacLean et al. Eds (2010) 中。

如何计算

凯利公式的计算非常简单，但它背后所传达的数学含义至关重要。本文从一个扔硬币游戏出发介绍凯利公式以及它的性质，之后会揭示凯利公式背后的实质。最后文章介绍如何把凯利公式推广到量化投资中确定投资的最优杠杆比例。

假设某股票机会:盈利幅度30%，亏损幅度-10%，盈亏概率均为50%。凯利公式: f= (bp-q）/b，也即=p-q/b.(p为胜率，q为赔率，b为赔率)那么f=(3*0.5-0.5)/3=33%。

有的又说凯利公式=(期望报酬率)/(赔率)

显然期望报酬率=30%*50%-10%*50%=10%;赔率=3;那么凯利公式f=10%/3=3.3%